Задание DE13F8: Профильная математика

Область определения задаётся положительностью аргумента логарифма: x+5>0, то есть x>−5.

В условии степень 9 относится к аргументу: ln((x+5)⁹). Степень нечётная, поэтому положительность аргумента требует x+5>0; на этой области ln((x+5)⁹)=9ln(x+5).

Используем (ln u)′=u′u. Производная функции: y′=9+−9x+5.

Приравниваем её к нулю и умножаем на положительный знаменатель: 9·(x+5)+(−9)=0. После раскрытия скобок: 9x+36=0. Отсюда x=−369=−4. Эта точка больше −5 и допустима.

Производную можно представить как y′=9·(x−(−4))x+5. Знаменатель положителен; знак определяет числитель. При x<−4 знак минус, при x>−4 — плюс.

Слева функция убывает, справа возрастает. Поэтому в x=−4 находится точка минимума: производная меняет знак с «−» на «+».

Весь заданный отрезок [−4,5; 0] входит в область определения, а −4,5<−4<0. Доказанная смена монотонности показывает, что нужное наименьшее значение достигается именно здесь.

Аргумент логарифма в этой точке равен 1·(−4)+(5)=1, поэтому ln1=0. Получаем y(−4)=9·(−4)+−9·0+(0)=−36.

Ответ: −36.