Задание 548CBA по планиметрии

а) Пусть Q — пересечение LO и MN. Здесь ∠LMN=60°, а LO делит угол KLM=60° пополам. Поэтому в треугольнике LMQ углы при L и M равны 30° и 60°, откуда ∠LQM=90°. Следовательно, OQ⊥MN, то есть Q — точка касания A. Значит, A лежит на LO.

б) Пусть r — радиус окружности. В прямоугольном треугольнике LAM: LO=2r, OA=r, поэтому LA=3r=3 и r=1. Длины касательных от N и M равны r и r·ctg30°=√3. Следовательно, MN=1+√3.