Задание 7018C7 по физике

Обозначим нижний конец палочки через A, верхний — через B, а высоту точки B над дном — через H. Рассматриваем палочку в системе отсчёта, связанной с Землёй; она инерциальна. Начало координат поместим в A, ось Ox направим вправо, ось Oy — вверх.

Палочка покоится и моделируется абсолютно твёрдым телом, поэтому сумма сил и сумма моментов сил относительно точки A равны нулю. Стакан гладкий: трения нет. На палочку действуют реакция правой стенки N в точке B, направленная влево; реакции дна N_д и левой стенки N_л в точке A, направленные соответственно вверх и вправо; сила тяжести mg, приложенная в центре палочки и направленная вниз; сила Архимеда F_А, направленная вверх и приложенная в центре погружённой части палочки. Жидкость покоится, а погружённая часть палочки вытесняет её объём, поэтому к ней применим закон Архимеда. По третьему закону Ньютона модуль N равен модулю силы, с которой палочка давит на правую стенку.

Обозначим через C основание перпендикуляра из B на уровень дна. Тогда ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB=l, катетом AC=2R и катетом BC=H. Поэтому по теореме Пифагора:
H=√(l²−(2R)²).
Подставим численные данные отдельно:
H=√((0,10 м)²−(2·0,04 м)²)=0,06 м.

Пусть l_погр и V_погр — длина и объём погружённой части, V — объём всей палочки. Так как палочка тонкая и имеет постоянное сечение,
l_погрl=V_погрV=hH,
V_погр=hVH.

Общая формула силы Архимеда:
F_А=ρ_{жидкостиgV}_погр=ρ_{жидкости}ρ_{палочки}mg·hH=0,75mg·hH.
Сила F_А приложена к середине погружённой части. Её плечо относительно A равно
d_А=l_погр2cos α=R hH,
так как cos α=2Rl.

Выберем положительным направление моментов против часовой стрелки. Силы N_д и N_л проходят через A и не создают момента. Условие равновесия по моментам имеет вид
NH+F_А·R hH−mgR=0.
Отсюда общая формула для реакции верхней стенки:
N=mgRH(1−ρ_{жидкости}ρ_{палочки}(hH)²).

Подставим численные данные отдельно:
0,008 Н=0,0018 кг·10 м·с⁻²·0,04 м0,06 м(1−0,75(h0,06 м)²)=0,012 Н(1−0,75(h0,06 м)²).
Следовательно,
1−0,008 Н0,012 Н=13,
0,75(h0,06 м)²=13,
(h0,06 м)²=49,
h=23·0,06 м=0,04 м=4 см.

Проверим результат. При найденной высоте
F_А=0,75·0,0018 кг·10 м·с⁻²·0,04 м0,06 м=0,009 Н.
Из равновесия по Oy получаем N_д=mg−F_А=0,009 Н>0, а по Ox: N_л=N=0,008 Н>0; оба контакта действительно сохраняются. Проверка моментов:
0,008 Н·0,06 м+0,009 Н·0,04 м·0,04 м0,06 м=0,00072 Н·м=0,018 Н·0,04 м.
Размерность формулы для N: (кг·м·с⁻²)·м·м⁻¹=кг·м·с⁻²=Н. Кроме того, 4 см<6 см=H, поэтому палочка погружена лишь частично, как принято в решении.

Ответ: 4 см.